Kleine Matheaufgabe

[reichs]

In Mathe haben wir heute einen Test geschrieben. Eine Aufgabe war ein Beweis: Beweise, dass das Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen, wobei die kleinste gerade ist, durch 8 teilbar ist.

Der Ansatz war leicht: 2n(2n+1)(2n+2)

Aber wie kann man jetzt beweisen, dass das durch 8 teilbar ist???

[*strangelet]

2n(2n+1)(2n+2) = (4n²+2n)(2n+2) = 8n³+8n²+4n²+4n = 4n(2n²+3n+1)
= 4x und x = n(2n²+3n+1)

Rechnen mit Binärzahlen mit 0 = gerade und 1 ungerade (*). Fallunterscheidung:

Für ungerade n: x = 1*(0*1²+1*1+1) = 1*(1+1) = 1*0 = 0 => x ist gerade und 4x damit durch 8 teilbar.
Für gerade: x = 0*(0*0²+1*0+1) = 0*1 = 0 => x ist gerade und 4x damit durch 8 teilbar.

==> q.u.e.d

*) Das geht weil Addition / Multiplikation mit Binärzahlen den selben Gesetzmäßigkeiten folgt wie der Wechsel gerade <--> ungerade:

g=gerade
u=ungerade

g+g = g, 0+0 = 0, g*g = g, 0*0 = 0,
g+u = u, 0+1 = 1, g*u = g, 0*1 = 0,
u+g = u, 1+0 = 1, u*g = g, 1*0 = 0,
u+u = g, 1+1 = 0, u*u = u, 1*1 = 1

Obwohl dieser Lösungsweg natürlich völlig korrekt ist bezweifle ich aber das der Lehrer ihn akzeptieren wird (Lehrer sind oft sehr kurzsichtig / unflexibel). Rechne die Fallunterscheidung deshalb auf "konventionelle" Weise:

ungerade: 4(2a+1)(2(2a+1)²+3(2a+1)+1) = ...
gerade: 4(2a)(2(2a)²+3(2a)+1) = ...

Damit kommst du auch drauf (es lässt sich 8 ausklammern), ist aber erheblich mehr zu rechnen.