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Division durch Null - und es geht doch!

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Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon cfx.guru » So 23. Jan 2011, 15:01

Ich habe aus Zufall was interessantes herausgefunden und ich denke, es könnte auch für die Mathematik sehr interessant sein. Wie die meisten von euch wissen oder gelernt haben, ist es nicht möglich eine Zahl durch Null zu dividieren. Aber ich habe einen Trick herausgefunden, wie es doch funktionieren könnte und mein GTR hat meine Überlegung auch bestätigt.

Ich habe einfach folgende Überlegung gemacht: Ein Division ist ein Bruch, dass aus einem Zähler und einen Nenner besteht. Die Variable x ist die Dezimalzahl die ich suche. Wenn ich jetzt den Zähler und Nenner zunächst als allgemeine Zahlen schreibe, sieht die Form wie folgt aus:

Code: Alles auswählen
x=a/b


Jetzt kommt mein Trick: Ich rechne nicht den Wert von der Variable x aus, sondern ich tue so, als wäre x meine Nullstelle und ich bilde aus dieser Nullstelle eine Funktion.

Code: Alles auswählen
x=a/b      | *b
b*x=a      | -a
0=b*x-a
f(x)= b*x-a


Jetzt habe ich eine allgemeine Funktion, mit der ich die Nullstelle (Sprich die Division a/b) ausrechnen kann. Wenn alles stimmt, muss die Nullstelle zur Funktion 0.5 ergeben:

Code: Alles auswählen
f(x)=4*x-2


Wie erwartet schneidet sich der Graph mit der x-Achse genau an diesen Punkt.

Jetzt wird es spannend: Wir setzen den Wert mit b = 0.
Code: Alles auswählen
f(x)=0*x-a -> f(x)=-a


Wenn wir nun diese Funktion zeichnen lassen, sieht man, wie es zur x-Achse parallel verläuft. Dies heißt, wir haben bei der Division mit Null keine Nullstelle (im reellen Teil). Aber man sieht, dass der Graph sich mit der y-Achse schneidet. Also dort wo sich die Imaginäre Zahlen befinden.

Also könnte man folglich zu meine Überlegung sagen:
Code: Alles auswählen
a/0 = -a*i


Zwar kommt man mit der Multiplikation nicht zur ursprünglichen Zahl zurück, aber es wäre zumindest bewiesen, dass man mit der Multiplikation von den imaginären Zahlen zu den reellen Zahlen zurück gelangt.

Aber, um es trotzdem hin zu bekommen gibt es ein Trick:
Code: Alles auswählen
Abs(-a*i)=a


In meinen Augen ist die Division mit Null eine Brücke zwischen den Reell- und Imaginär-Teil.
Was meint ihr zu meiner Überlegung?
Zuletzt geändert von cfx.guru am So 23. Jan 2011, 22:55, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon Paul94 » So 23. Jan 2011, 15:14

Hi!

Ich finde die Überlegung interessant, dennoch habe ich glaube ich einen Fehler entdeckt:
Code: Alles auswählen
x=a/b      | *b
b*x=a      | -a
0=b*x-a
f(x)= b*x-a


Da b = 0 ist (ansonsten wäre es ja keine Division durch 0) ist b*x = 0, da ein Produkt immer dann 0 wird, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Es müsste dann heißen:
Code: Alles auswählen
x=a/b      | *b
0=a      | -a
-a = 0

Das nicht jedes beliebige a = 0 ist, ist denke ich klar, setzt man für a z.B. einen Wert ungleich 0 ein führt dies zu einem Widerspruch (ich setze a = 5, b = 0):
Code: Alles auswählen
x=5/0      | * 0
0 = 5  | !!!!!!


Paul
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon cfx.guru » So 23. Jan 2011, 16:04

Ja, das stimme:
Code: Alles auswählen
0!=-a


Ich glabue dir Problematik liegt daran, dass ich es nicht zeigen kann, dass aus einer reellen Zahl eine imaginäre Zahl wird.

Wenn Du jetzt z.B. -a mit -a*i ersetzen und in deine Rechnung nur Reelle Zahlen erlauben würdest, würde es wie folgt aussehen:

Code: Alles auswählen
x=a/b      | *b -> b=0
0=a        | -a
0 = -a*i    -> nur Reellteil erlauben

0 = keine (reelle) Lösung


Graphisch kein Problem. Rechnerisch leider schon, da ich aus eine reelle Zahl nicht ohne weiteres eine imaginäre Zahl bilden kann. Das ist das Problem, was für Verwirrungen sorgt, denke ich.
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon cfx.guru » So 23. Jan 2011, 16:10

Beispiel mit GTR:
Code: Alles auswählen
a/0 = -a*i -> f(x)=-a


die liniere Funktion schneidet sich mit der y-Achse genau an den Punkt -a*i (Imaginärteil).
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon Paul94 » So 23. Jan 2011, 16:16

Ich weiß nicht. Mit Imaginärteilen kann ich als Zehntklässler nicht so wirklich umgehen. Damit ich sagen würde es geht, sollte es aber meiner Meinung nach umkehrbar sein und ausschließlich im Bereich der Reellen Zahlen funktionieren.
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon cfx.guru » So 23. Jan 2011, 16:38

Ja, da gebe ich Dir recht. Die Lösungen sollten eigentlich schon im reellen Bereich liegen. Aber auf der anderen Seite finde ich es sehr genial und verblüffend, dass meine Idee zumindest graphisch funktioniert. Auch mit der Funktion
Code: Alles auswählen
Abs(-a*i)=a

gelangt man mit den Quotient -a*i zurück zum Dividenden a.

Auch wenn meine Idee zu funktionieren scheint, denke ich fehlt noch was. Aber ich werde noch dran bleiben. Irgendwann werde ich schon die richtige Lösung finden.
Zuletzt geändert von cfx.guru am So 23. Jan 2011, 22:56, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon elias.koegel » So 23. Jan 2011, 19:49

Aus Zeitmangel habe ich jetzt nicht deine komplette Herleitung durchgearbeitet und noch nicht ganz verstanden, wie du genau vorgehst. Aber ich zweifle erstmal an, dass bei der Division durch Null eine imaginäre Zahl entsteht. Ich habe zumindest noch nichts davon gehört. Aber wiederlegen kann ich die Überlegungen erstmal nicht.

Aber ein anderer Gedanke: Teile ich eine Zahl durch eine sehr kleine Zahl, so ist das Ergebnis sehr groß. In mathematischer Schreibweise:
Code: Alles auswählen
lim  1
x->0 - = inf
x>0  x

und
Code: Alles auswählen
lim  1
x->0 - = - inf
x<0  x


Eine Division durch Null ergibt für mich dadurch in der Regel eine unendliche große Zahl, von der sich nicht ohne weiteres sagen lässt, ob sie positiv oder negativ ist.
Übrigens Vorsicht, wenn der Zähler auch gleichzeitig null wird, denn dann entstehen hebare Definitionslücken.
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon cfx.guru » So 23. Jan 2011, 22:06

Das ist klar:
Code: Alles auswählen
1/0.1       = 10
1/0,01      = 100
1/0,001     = 1000
1/0,0001    = 10000
1/0,00001   = 100000
1/0,...1    = unendlich


Klar ist aber auch:
Code: Alles auswählen
1/-0.1     = -10
1/-0,01    = -100
1/-0,001   = -1000
1/-0,0001  = -10000
1/-0,00001 = -100000
1/-0,...1  = -unendlich


Das Problem bei dieser Methode ist, dass Du eine Relation erhälst. Und dies kann nicht stimmen. Denn irgendwas durch Null kann nicht gleichzeitig + und - unendlich sein. Siehe Funktion f(x)=1/x.

Ich finde man sollte für dieses Problem lieber mit meine Funktion f(x)= b*x-a arbeiten, da die Division die Nullstelle entspricht. Und abgesehen davon meine Lösung eindeutig ist.

Beispiel 1:
Code: Alles auswählen
f(x)=5x-15          ->          x=15/5


Siehe Nullstelle im Graphen

Beispiel 2:
Code: Alles auswählen
f(x)=-2          ->          y=-2          ->          Imaginäre Zahl = -2i
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon cfx.guru » Mo 24. Jan 2011, 00:02

Ich glaube ihr habt recht! Es kommt keine Imaginäre Zahl heraus. Ich habe nicht berücksichtigt, dass sich die Gerade nicht nur mit der x-Achse, sondern auch mit der y-Achse schneidet. Es war ein Denkfehler von mir. Entschuldigung!

Aber ihr müsst zugeben, dass man mit der Funktion f(x)=b*x-a den Quotienten einer Division sichtbar machen kann. Ich habe damit zumindest graphisch bewiesen, dass es keine reelle Lösung gibt, wenn man die Grade parallel ober oder -unterhalb der x-Achse zeichnet.

Ich hoffe ihr stimmt mir zu, wenn ich schreibe:
Code: Alles auswählen
a/0 = {}  -> wenn a!=0


Jetzt stellt sich nur die Frage was passiert, wenn man Null durch Null teilt. Laut der Potenzregel müssen alle Zahlen in der Form n⁰ die Zahl 1 ergeben. Bei meiner Funktion f(x)=0 ist es gleich Null. Auch beim Näherungsversuch 0/0,...1 kommt immer die Zahl Null raus. Also gilt:

Code: Alles auswählen
0/0=0^0=0


Aber es gilt auch:
Code: Alles auswählen
n^0=1  wenn n!=0


Gruß,
cfx.guru
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Re: Division durch Null - und es geht doch!

Beitragvon Paul94 » Mo 24. Jan 2011, 14:50

Hi!

Jetzt stellt sich nur die Frage was passiert, wenn man Null durch Null teilt. Laut der Potenzregel müssen alle Zahlen in der Form n⁰ die Zahl 1 ergeben.


0^0 ist anders als a^0 (a ungleich 0) nicht definiert.

Paul
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