Zahlentheorie

[stefan]

Hallo zusammen!

Wusstet Ihr schon, dass der Divisor einiges über den Quotienten verrät?

Wie Ihr sicherlich wisst, sind Dezimalbrüche, Zahlen, deren Nenner immer aus einer Zehnerpotenz besteht. Wenn man die Basiszahl Zehn in Primzahlen zerlegt, erhält man immer nur zwei Zahlen, nämlich die Zahl 2 und 5.

Beispiel:
[CODE]
10 =[TAB]2 x 5
100 =[TAB]2 x 2 x 5 x 5
1000 =[TAB]2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
[/CODE]

Um herauszufinden, ob der Quotienten aus einem endlichen oder unendlichen Dezimalbruch besteht, braucht man sich nur den Divisor anzuschauen.

Wenn der Divisor keine anderen Primzahlfaktoren außer 2 oder 5 enthält, ist der Quotient ein endlicher Dezimalbruch.

Beispiel:
[CODE]
0.24 =[TAB][TAB]1 / 4 =[TAB][TAB]1 / ( 2 x 2 )
0.125 =[TAB][TAB]1 / 8 =[TAB][TAB]1 / ( 2 x 2 x 2 )
0.0005 = [TAB]1 / 2000 =[TAB]1 / ( 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 )
[/CODE]

Enthält der Divisor andere Primzahlfaktoren, so ist der Quotient ein unendlicher Dezimalbruch.

Beispiel:
[CODE]
0.3333333... =[TAB]1 / 3
0.1666666... =[TAB]1 / 6 = 1 / ( 2 x 3 )
0.1111111... = [TAB]1 / 9 = 1 / ( 3 x 3 )
[/CODE]

Gruß,
Stefan

[BCGSR]

wieder was gelernt. cool :-)

[stefan]

Eines bleibt mir in der Mathematik ein Rätsel. Wie werden Dezimalbrüche potenziert? Bei vielen Taschenrechnern kann ein Dezimalbruch als Exponent übergeben werden, aber woran liegt es?

Beispiel:
[CODE]4^0.5 = sqrt(4) = 2[/CODE]

Gibt es dafür eine Formel und Rechenbeispiele?

Das währe großartig, wenn es ein Algorithmus für exponentiale Dezimalbrüche gibt; dann könnte jeder die Wurzel einer Zahl ziehen und es mit Rechenvorgängen beweisen.


[geändert von stefan am [TIME]1211663516[/TIME]]

[CFX Master]

Ich weiß zwar nicht, ob das hier mit rein passt, aber ich kenne da noch so einen lustigen Trick, wie man eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandelt:

Nehmen wir z. B. einfach mal 0,123412341234... dann lautet der dazugehörige Bruch 1234 / 9999
Oder nehmen wir 0,878787878787... dann lautet der Bruch 87 / 99 bzw. 29 / 33

Also ich finde das cool. :)

[stefan]

Die Zahlen 3, 6 und 9 haben besondere Merkmale. Alle drei Zahlen lassen sich durch den Primzahlfactor 3 zerlegen.

Beispiel:
[CODE]
1 / 3 =[TAB]0.3333333...
1 / 6 =[TAB]0.1666666...*
1 / 9 =[TAB]0.1111111...
[/CODE]

*1 / 6 =[TAB]0,15 + 0,015 + 0.0015 + ... =[TAB]0.1666...

Besteht der Nenner aus mehreren Ziffern, die aus nur Dreiern, Sechsen oder Neunen bestehen, lässt sich Folgendes schließen:
Die Anzahl der Ziffern des Nenners gibt an, nach wie vielen Ziffern sich die Zahl im Quotienten wiederholt.

Beispiel:
[CODE]
1 / 3 =[TAB][TAB]0.333333333...[TAB][TAB](1 x die Ziffer 3)
1 / 33 =[TAB]0.0303030303...[TAB][TAB](2 x die Ziffer 3)
1 / 333 =[TAB]0.003003003...[TAB][TAB](3 x die Ziffer 3)

1 / 6 =[TAB][TAB]0.166666666...[TAB][TAB](1 x die Ziffer 6)
1 / 66 =[TAB]0.015151515...[TAB][TAB](2 x die Ziffer 6)
1 / 666 =[TAB]0.0015015015...[TAB][TAB](3 x die Ziffer 6)

1 / 9 =[TAB][TAB]0.1111111111...[TAB][TAB](1 x die Ziffer 9)
1 / 99 =[TAB]0.0101010101...[TAB][TAB](2 x die Ziffer 9)
1 / 999 =[TAB]0.001001001001...[TAB](3 x die Ziffer 9)
[/CODE]

@CFX Master:
[CODE]
1234 / 9999 =[TAB]0.12341234

1234 x 1 / 9999 =[TAB]1234 x 0.0001000100010001... =[TAB](4 x die Ziffer 9)
1234 x 1 x 10^(-4)=[TAB][TAB][TAB]1234 x 10^(-4)
1234 x 1 x 10^(-8) =[TAB][TAB]+[TAB]1234 x 10^(-8)
1234 x 1 x 10^(-12) =[TAB][TAB]+[TAB]1234 x 10^(-12)
...[TAB][TAB][TAB][TAB]+[TAB]....
1234 x 1 x 10^(n x -4) =[TAB]+[TAB]1234 x 10^(n x -4)
.....................................................................................................
Summe:[TAB][TAB][TAB][TAB][TAB]0.1234123412341234....
[/CODE]

Gruß,
Stefan

[geändert von stefan am [TIME]1211691322[/TIME]]

[elias.koegel]

Erstellt von stefan

Eines bleibt mir in der Mathematik ein Rätsel. Wie werden Dezimalbrüche potenziert? Bei vielen Taschenrechnern kann ein Dezimalbruch als Exponent übergeben werden, aber woran liegt es?

Beispiel:
[CODE]4^0.5 = sqrt(4) = 2[/CODE]

Gibt es dafür eine Formel und Rechenbeispiele?

Man kann statt 4 ^ 0.5 auch 4 ^ ( 1 * 1/2 ) schreiben. Das umgeformt: ( 4 ^ 1 ) ^ 1/2
Irgendwas ^ 1/2 ist die Wurzel.

Anderes Bsp: 5 ^ 3/4 = 5 ^ ( 3 * 1/4 ) = ( 5 ^ 3 ) ^ 1/4
und das ist die 4. Wurzel aus 5 ^ 3.

Der Taschenrechner macht wahrscheinlich aus 0.64537 die Zahl 64537 / 100000 , was er dann als 10000. Wurzel aus irgendwas ^ 64537 umformen kann. Oder es gibt ein anderes Näherungsverfahren.

[stefan]

Ich habe ein Algorithmus für die n-te-Wurzel im Netzwerk gefunden.

Referenz: [URL]http://en.wikipedia.org/wiki/Nth_root_algorithm[/URL]

Formel:
[CODE]
[TAB] 1[TAB][TAB][TAB] A
x[k+1] = --- x (x[k] x (n-1) + ------------ )
[TAB] n[TAB][TAB][TAB]x[k]^(n-1)
[/CODE]

n = Wurzelexponent
A = Radikand

Ich weis aber nicht was mit x[k] gemeint ist. Kann mir jemand ein Rechenbeispiel vorführen, damit ich das nachvollziehen kann?